Este primer bloque, clasificado como se indica abajo, contiene problemas cuya solución ayudaría en la preparación del estudiante para su participación en los Concursos internos que se llevan a cabo en los Subsistemas de Bachillerato en el Estado de Sonora, y está conformado de tal manera que permitirá la iniciación y familiarización con el ambiente de las OLIMPIADAS .

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1. «Cuál sería una ecuación de segundo grado que resulte tener como raíces -3 y 9 ?

a) x² -3x + 9 = 0        b) x² - 6x - 27 = 0          c) x² + 27x - 9 = 0

2.-Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

a) x = 1/a , y = 1/b         b) x = y = a2 - b2           c) x = y = 1/(2a)

3. Un número positivo x satisface < 2x, si y sólo si:

a) x > 1/4       b) x > 4             c) x < 1/4 d) x > 2

4. «Cuántas parejas de números reales diferentes de cero (a,b) satisfacen: 1/a + 1/b = 1/(a+b) ?

a) 1        b) 2         c) 3         d) ninguna

5. Si b es mayor que uno, x mayor que cero y (2x)logb2 - (3x)logb3 = 0, entonces el valor de x es:

a) 1/216         b) 1/6         c) 1 d) 6

6. Las raíces de la ecuación ax² + bx + c = 0 serán recíprocas si:

a) a = b       b) a = bc        c) c = a       d) c = b        e) c = ab

7. «Cuántos téminos tiene la expresión [(a+3b)² (a-3b)² ]² ?

a) 5      b)8      c) 6      d) 4      e) ninguno de estos.

8.-La suma de los valores reales de x que satisfacen la igualdad | x + 2 | = 2 | x - 2 | es:

a) 1/3      b) 2/3      c) 6      d) 19/3      e) 20/3

9. Si x cumple con 1/x < 2 y 1/x > -3 entonces:

a) -1/3 < x < 1/2      b) -1/2 < x < 3      c) x > 1/2

d) x > 1/2 ó -1/3 < x < 0 e) x > 1/2 ó x < -1/3

10. Hallar el término independiente de:

a) 5       b) 1      c) 90      d) 60      e) 3 /45

11. Demuestre que para todo número real x, se verifica que

12. Resuelva la ecuación:

13. Encuentre la suma de todos los números entre 50 y 350 que terminan en uno.

a) 5870      b) 5880      c)5885      d) Ninguna de las anteriores.

14. El número de múltiplos de 3 que hay entre 13 y 5630 es:

a) 1862      b) 1870      c) 1872       d) Ninguna de las anteriores.

15. Las soluciones de la ecuación x⁴ - 32x² + 16 = 0 son:

a) 1 y -1       b)       c) 4 y -4       d) 2 y -2

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16. La circunferencia de un círculo es 100 cm. El lado de un cuadrado inscrito en este círculo es:

a)         b)        c)        d)        e)

17. El área de la tapa, un lado y el frente de una caja rectangular son conocidas. El producto de estas áreas es igual a:

a) El volumen de la caja         b) El doble del volumen         c) El cuadrado del volumen         c) El cubo del volumen           

e) ninguna de las anteriores.

18. Una pieza circular de metal de área máxima es cortada de una pieza cuadrada, luego, una pieza cuadrada de máxima área es cortada de la pieza circular. El total de la cantidad de metal desperdiciado es:

a)1/4 del área del cuadrado original             b)1/4 del área de la pieza circular             c)1/2 del área del cuadrado original d)1/2 del área de la pieza circular                 e) ninguna de las anteriores.

19. Un hexágono está inscrito en un círculo de radio 10. Su área es:

a) 150           b) 150           c) 25           d) 600           e) 300

20. Sean A(2,3) y B(-4,5) los extremos de un diámetro de una circunferecia. Determina cuales de los siguientes puntos están en dicha circunferencia o en su interior.

D(0,0), E(0,1), F(10,10), G(-5,5), H(0,3), I(1,2), J(-2,2), K(-3,7), L(-2,7).

a) D,E,I            b) E,H,I,J, L           c) ninguno             d)todos           e) ninguna de las anteriores.

21. Encuentre las dimensiones (área) del triángulo inscrito en una semicircunferencia de radio r que tenga la mayor área posible.

   a) r²           b) r³           c) 2r²

22. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen igual perímetro, si el área del triángulo es dos entonces el área del hexágono es

  a) 2            b) 3           c) 4            d) 6           e) 12

23. Los lados AB, BC, CD y DA, de un cuadrilátero convexo ABCD tienen longitudes 3, 4, 12 y 13 respectivamente y el ángulo CBA es recto, entonces el área del cuadrilátero es:

a) 32              b) 36                 c) 39

24. En la figura adjunta CDE es un triángulo equilátero y ABCD y DEFG son cuadrados, encuentre el ángulo GDA.

a) 90                      b) 105                   c) 150

25. Si AB y CD son diámetros perpendiculares del círculo centrado en Q y ángulo QPC = 60 , entonces la razón de PQ a AQ es:

a) /3                b) 1/2               c) 2/3

26. En la figura se tiene Hallar el área del triángulo ABC.

27. Demuestre que con

28. Considere la situación de la figura. ABCD es un cuadrado y C1 y C2 circunferencias. Considere la región dentro de C1 que NO está sombreada o sea el área entre C1 y C2 , de modo que denotamos por S al área de dicha región. Encuentre el radio que debe tener una circunferencia para que su área sea igual a S.

29. En la siguiente figura ABCD es un cuadrado de lado 2 y todas las circunferencias tienen radio 1. Calcule el área de la región sombreada.

30. La circunferencia de un círculo es 100 cm. El lado de un cuadrado inscrito en este círculo es:

a)                   b)                    c) d) Ninguna de las anteriores.

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31. El mínimo común múltiplo entre 2310 y 1540 es:

a) 6160           b) 4620           c) 3080           d) 6930            e) ninguno

32. Determinar el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del 25% y del 40%.

a) 55%           b) 65%           c) 60%           d) 75%           e) Ninguno de los anteriores

33. En una progresión aritmética dada, el primer término es 2, el último término es 29 y la suma de todos los términos es 155. La diferencia común es:

a) 3         b) 27/19           c) 5           d) 23/38

34. «Cuántos de los primeros cien enteros positivos son divisibles por los números 2, 3, 4 y 5 ?

a) 0          b) 1           c) 4           d) 7

35. «Cuántas soluciones tiene la ecuación 32X + 2 - 3X + 3 - 3X + 3 = 0 ?

a) 2           b) 4           c) 3           d) 1

36. A puede hacer un trabajo en nueve días. B es un 50% más eficiente que A, el número de días que tarda B en hacer el mismo trabajo es:

a) 13.5           b) 4.5           c) 6           e) ninguna de estas

37. Si la suma de dos números es uno y su producto también es uno, entonces la suma de sus cubos es:

a) -2-3           b) -2           c) 0 d) 2

38. En una progresión geométrica de números reales, la suma de los primeros dos términos es siete y la suma de los primeros seis es noventa y uno. La suma de los primeros cuatro términos es:

a) 32            b) 84           c) 49           d) 28

39. El número de parejas de enteros positivos que son soluciones de la ecuación 3x + 5y = 501 es:

a) 33           b) 34           c) 35           d) 100

40. Exprese el número (23861)9 en el sistema en base 10.

a) 16201           b) 16102           c) 16012           d) 16120

41. «Qué es mayor . No use tablas ni calculadora.

42. Encuentra el valor de x, si

43. Encuentre la suma de todos los números entre 50 y 1350.

44. Coloque los dígitos 3, 5, 6, 2, 4 y 8 en los cuadritos para obtener:

a) La mayor diferencia

b) La menor diferencia

45. Encuentre dos números naturales cuya diferencia sea la menor posible y que cuando se multipliquen entre si, su producto sea 1,234¾567,890 (mil doscientos treinta y cuatro millones...)

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46. De la ciudad A a la ciudad B conducen dos caminos, de la ciudad B a la ciudad C conducen tres caminos. Entonces, de la ciudad A a la C, pasando por B, hay:

a) 2 caminos b) 3 caminos c) 5 caminos d) 6 caminos e) ninguna de estas respuestas.

47. En un monte hay varias fincas, cada una de las cuales está unida a las restantes por un camino. Si sabemos que hay 36 caminos, «cuál es el número de fincas?

a) 8 b) 630 c) 315 d) 9 e) 10

48. «De cuántas manera se pueden escoger en el tablero de ajedrez una casilla blanca y una negra que no estén en una misma vertical ni horizontal?

a) 56 b) 1600 c) 1536 d) 1300 e) 768

49. «De cuántas maneras pueden acomodarse dos bolas blancas y tres negras en línea recta, distinguibles entre sí, de tal forma que no queden bolas negras juntas?.

a) 8 b) 12 c) 10 d) 9 e) ninguna de estas

50. «Cuántas diagonales tiene un polígono de 100 lados?

a) 500 b) 100 c) 4850 d) 4950 e) ninguno de estos

51. Un criterio para saber si un número es múltiplo de 9, es que la suma de sus dígitos sea un número múltiplo de 9. «Cuántos números de tres cifras, dígitos diferentes de cero y entre sí, hay que sean múltiplos de nueve?

a) 9 b) 12 c)54 d) más de 100 e) ninguna de las anteriores.

52. De dos sociedades deportivas, con cien esgrimistas cada una, hay que elegir una pareja para una contienda. «De cuántas formas se puede hacer esto?

a) 9900 b) 100000 c) 10000 d) 990

53. A la cumbre de una montaña conducen cinco caminos. «De cuántas maneras puede trepar un turista a la montaña y descender por ella si no puede usar dos veces el mismo camino?

a) 25 b) 10 c)30 d) 20

54. Se tienen n bolas blancas y n bolas negras numeradas por 1,2,..., n. «De cuántas formas pueden colocarse las bolas en una fila de modo todas las bolas vecinas sean de diferente color?.

a) 2(n!)2 b) (2n)! c) n d) (n )!

55. Un cubo de madera se pinta de rojo y después se parte en 27 cubitos. «Cuántos cubitos tienen exactamente:

a) 2 caras rojas? b) 0 caras rojas?

56. «Cuántos números menores que 10,000 pueden formarse con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6 y 7?.

a) 8400 b) 5904 c) 4096 d) ninguna de las anteriores

57. «Cuántos números impares de siete dígitos se pueden escribir con los dígitos que aparecen en el número 1993 ?.

a) b) c) d) ninguna de las anteriores

58. En la cuadrícula de la figura «cuántas H¾s hay ?.

59. « De cuántas maneras distintas se pueden ordenar los dígitos 1,3,5,6 y 9 de tal manera que el número formado sea mayor que 35180 ?

a) 17 b) 24 c) 30 d) ninguna de las anteriores

60. Cinco cartas fueron enviadas a cinco destinos distintos, colocándolas aleatoriamente en los cinco sobres con las direcciones ya escritas. « De cuántas maneras distintas pudieron enviarse las cinco cartas de tal manera que al menos una de ellas no llegue a su destino correcto. ?.

a) 24 b) 32 c) 119 d) ninguna de las anteriores

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61. Diga cual es la negación de la siguiente afirmación: ningún estudiante de COBACH participa en este concurso.

a) Todo estudiante de COBACH participa en este concurso

b) Algún estudiante de COBACH participa en este concurso.

c) La mitad de los estudiantes de COBACH participa en este concurso.

d) ninguna de estas.

62. Se tienen tres recipientes que contienen cierta cantidad de agua. Si se vierte 1/3 del agua del primero en el segundo y luego 1/4 del agua del segundo en el tercero y, por último, extraemos 1/10 del agua del tercer recipiente para vertirla en el primer recipiente, resultará que cada recipiente tendrá 9 lt. «Qué cantidad de agua tenía cada uno de ellos?

a) (7; 8; 10) b) (10; 8; 9) c) (8;6;5) d) (12; 8; 7) e) ninguna de las anteriores.

63. Luego de simplificada, la expresión [(Ac Bc ) (Ac Cc )]c es igual a:

a) A B b) A B C c) A B d) A B C

e) ninguna de las anteriores.

64. Una flor del estanque alcanza una altura de 30 cm sobre la superficie del agua. Cuando la brisa sopla la flor se inclina y alcanza a tocar el agua en un punto situado a 40 cm del punto donde originalmente emergía. «Cuál es la profundidad del estanque?

a) 70/6 cm b) 30 cm c) 40 cm d) 70 cm e) ninguna de las anteriores.

65. Dos grupos de secundaria son evaluados con la misma prueba. Un grupo de 20 estudiantes obtiene una calificación promedio de 80 y el otro, de 30 estudiantes obtiene una calificación promedio de 70. La calificación promedio de todos los estudiantes en los dos grupos es:

a) 75 b) 74 c) 72 d) 77 e) 73

66. Un estudiante lleva a la escuela una bolsa con galletas. A la hora del descanso dá a uno de sus compañeros la mitad de sus galletas y media más. A una amiga de otro grupo, le da la mitad de lo que le queda en la bolsa y media galleta más. Por último, a su hermano le da la mitad de las galletas que le quedan y media más. Cuando decide comer galletas resulta que sólo le queda una, «cuántas galletas tenía originalmente la bolsa?

a) 20 b) 17 c) 25 d) 15 e) 19

67. Si S = 1! + 2! + 3! + ... + 99!, entonces el dígito de las unidades en el valor de S es:

a) 9 b) 8 c) 5 d) 3 e) 0

68. Encuentre la suma de los dígitos de todos los números en la secuencia 1, 2, 3, ..., 10000. a) 180001 b) 154756 c) 45001 d) 154755 e) 270001

69. De un grupo de muchachos y muchachas, 15 de éstas últimas lo abandonan. Quedan dos muchachos por cada muchacha. Después de esto, 45 muchachos abandonan el grupo,quedando ahora 5 muchachas por cada muchacho. El número inicial de muchachas fué: a) 43 b) 40 c) 50 d) ninguna de estas

70. Si f ( x ) = 4, entonces f (x + 1) - f( x ) es igual a:

a) 4 b) f ( x ) c) 3f ( x ) d) ninguna de estas

71. En un pastizal hay una cabra amarrada con una cuerda de 4m al punto P de la barda, como en la figura. Hay 1Kg de pasto por cada metro cuadrado de área. « Cuál es la máxima cantidad de pasto que puede comer la cabra ?.

72. Se tienen tres recipientes : A de 7 litros, B de 6 litros y C de tres litros. Inicialmente el recipiente A tiene 3 litros de agua, el B tiene 3 litros y el C tiene 2 litros. Encuentre un procedimiento para lograr que en el recipiente A quede un litro de agua, en B 4 litros y en C tres litros. Los recipientes no tienen graduación por lo que la única operación válida es vaciar el contenido de un recipiente en otro, hasta que se vacíe uno o se llene el otro.

73. Encuentra los productos faltantes tratando de continuar el patron. Verifique sus respuestas.

(11)2 = 121

74. Fermat afirmaba que:

100895598169 = 898423 x 112303. «Tenía razón ?.

75. Juan se tarda normalmente 45 min en podar un árbol. Ricardo se tarda 70 min en promedio para hacer lo mismo. Si el vivero " Arbol 2000 " los contrata para que juntos trabajen en podar 92 árboles. « Cuánto tiempo se tardarán en terminar su trabajo ?.